正交多项式

1. 定义

  • 若函数 W(x)W(x) 在区间 (a,b) 可积,且 W(x)0 W(x) \geq 0 ,则 W(x)W(x) 可作为权函数

对于一个多项式的序列 fif_i 和权函数 W(x)W(x),定义内积

<fm,fn>=abfm(x)fn(x)W(x)dx\begin{array}{c} \lt f_m, f_n \gt = \int_a^b f_m(x) f_n(x) W(x) dx \end{array}

  • nmn \ne m,有 <fm,fn>=0\lt f_m, f_n \gt = 0,这些多项则称为正交多项式。
  • fif_i 除了满足正交性之外,更有 <fn,fn>=1 \lt f_n, f_n \gt = 1 ,则称为规范正交多项式。

2. 常见的正交多项式

  • 勒让得多项式
  • 切比雪夫多项式
  • 雅可比多项式
  • 埃尔米特多项式
  • 拉盖尔多项式
  • 盖根鲍尔多项式
  • 哈恩多项式
  • 拉卡多项式
  • 查理耶多项式
  • 连续双哈恩多项式
  • 贝特曼多项式
  • 双重哈恩多项式
  • 小q-雅可比多项式
  • 本德尔·邓恩多项式
  • 威尔逊多项式
  • Q哈恩多项式
  • 大q-雅可比多项式
  • Q-拉盖尔多项式
  • Q拉卡多项式
  • 梅西纳多项式
  • 克拉夫楚克多项式
  • 梅西纳-珀拉泽克多项式
  • 连续哈恩多项式
  • 连续q-哈恩多项式
  • Q梅西纳多项式
  • 阿斯克以-威尔逊多项式
  • Q克拉夫楚克多项式
  • 大q-拉盖尔多项式
  • 双Q克拉夫楚克多项式
  • Q查理耶多项式
  • 泽尔尼克多项式
  • 罗杰斯-斯泽格多项式
  • 戈特利布多项式