切比雪夫多项式

1. 简介

切比雪夫多项式是与棣莫弗定理有关,以递归方式定义的一系列正交多项式序列。通常,第一类切比雪夫多项式以符号 TnT_n 表示,第二类切比雪夫多项式用 UnU_n 表示。切比雪夫多项式 TnT_nUnU_n 代表 nn 阶多项式。

棣莫弗定理

棣莫弗定理是一个关于复数和三角函数的公式,其内容为:对任意复数 xx 和整数 nn,下列性质成立:

(cos(x)+isin(x))n=cos(nx)+isin(nx)\begin{array}{c} (\cos(x) + i\sin(x))^n = \cos(nx) + i\sin(nx) \end{array}

切比雪夫多项式分别是第一、第二类切比雪夫微分方程的解:

(1x2)yxy+n2y=0(1x2)y3xy+n(n+2)y=0\begin{array}{c} (1-x^2)y^{''} - xy^{'} + n^2y = 0 \\ (1-x^2)y^{''} - 3xy^{'} + n(n+2)y = 0 \end{array}

2. 定义

2.1 第一类切比雪夫多项式

T0(x)=1T1(x)=xTn+1(x)=2xTn(x)Tn1(x)\begin{array}{c} T_0(x) = 1 \\ T_1(x) = x \\ T_{n+1}(x) = 2x T_n(x) - T_{n-1}(x) \end{array}

此时母函数表示为:

n=0Tn(x)tn=1tx12tx+t2\begin{array}{c} \sum_{n=0}^\infty T_n(x)t^n = \frac{1-tx}{1-2tx+t^2} \end{array}

T0(x)=1T_0(x) = 1
T1(x)=xT_1(x) = x
T2(x)=2x21T_2(x) = 2x^2 - 1
T3(x)=4x33xT_3(x) = 4x^3 - 3x
T4(x)=8x48x2+1T_4(x) = 8x^4 - 8x^2 + 1
T5(x)=16x520x3+5xT_5(x) = 16x^5 - 20x^3 + 5x
\cdots

2.2 第二类切比雪夫多项式

U0(x)=1U1(x)=2xUn+1(x)=2xUn(x)Un1(x)\begin{array}{c} U_0(x) = 1 \\ U_1(x) = 2x \\ U_{n+1}(x) = 2xU_n(x) - U_{n-1}(x) \end{array}

此时母函数表示为:

n=0Un(x)tn=112tx+t2\begin{array}{c} \sum_{n=0}^\infty U_n(x)t^n = \frac{1}{1-2tx+t^2} \end{array}

U0(x)=1U_0(x) = 1
U1(x)=2xU_1(x) = 2x
U2(x)=4x21U_2(x) = 4x^2 - 1
U3(x)=8x34xU_3(x) = 8x^3 - 4x
U4(x)=16x412x2+1U_4(x) = 16x^4 - 12x^2 + 1
U5(x)=32x532x3+6xU_5(x) = 32x^5 - 32x^3 + 6x
\cdots

3. 性质

  • TnT_nUnU_n 都是区间 [1,1][-1,1] 上的正交多项式系。

第一类切比雪夫多项式

带权 11x2 \frac{1}{\sqrt{1-x^2}} ,满足

11Tn(x)Tm(x)dx1x2={0nmπn=m=0π2n=m0\begin{array}{c} \int_{-1}^1 T_n(x) T_m(x) \frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \begin{cases} 0 & n \ne m \\ \pi & n = m = 0 \\ \frac{\pi}{2} & n = m \ne 0 \end{cases} \end{array}

第二类切比雪夫多项式

带权 1x2 \sqrt{1-x^2} ,满足

11Un(x)Um(x)1x2dx={0n=mπ2nm\begin{array}{c} \int_{-1}^1 U_n(x) U_m(x) \sqrt{1-x^2} dx = \begin{cases} 0 & n = m \\ \frac{\pi}{2} & n \ne m \end{cases} \end{array}

  • 对每个非负整数 nnTn(x)T_{n}(x)Un(x)U_{n}(x) 都为 nn 次多项式。并且当 nn 为偶(奇)数时,它们是关于 xx 的偶(奇)函数,在写成关于 xx 的多项式时只有偶(奇)次项。

  • n1n \geq 1 时,TnT_{n} 的最高次项系数为 2n12^{n-1}n=0n = 0 时系数为 1 。

  • 两类切比雪夫多项式有如下关系:

ddxTn(x)=nUn1(x),n=1,Tn(x)=12(Un(x)Un2(x))Tn+1(x)=xTn(x)(1x2)Un1(x)Tn(x)=Un(x)xUn1(x)\begin{array}{c} \frac{d}{dx} T_n(x) = nU_{n-1}(x), n = 1,\cdots \\ T_n(x) = \frac{1}{2} (U_n(x) - U_{n-2}(x)) \\ T_{n+1}(x) = xT_n(x) - (1-x^2)U_{n-1}(x) \\ T_n(x) = U_n(x) - xU_{n-1}(x) \end{array}