1. 定义

1.1 欧拉通路 & 欧拉回路

• 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的通路称作欧拉通路。

• 通过图（无向图或有向图）中所有边一次且仅一次行遍所有顶点的回路称作欧拉回路。

【注】规定平凡图是欧拉图。

1.2 欧拉图 & 半欧拉图

• 具有欧拉回路的图称为欧拉图。

• 具有欧拉通路而无欧拉回路的图称作半欧拉图。

2. 性质

• 无向图 $G$ 是欧拉图当且仅当 $G$ 是连通图且没有奇度顶点。

• 无向图 $G$ 是半欧拉图当且仅当 $G$ 是连通的且恰有两个奇度顶点。

• 有向图 $D$ 是欧拉图当且仅当 $D$ 是强连通的且每个顶点的入度等于出度。

• 有向图 $D$ 是半欧拉图当且仅当 $D$ 是单连通的且恰有两个奇度顶点，其中一个顶点的入度比出度大 1 ，另一个顶点的出度比入度大 1 ，而其余顶点的入度等于出度。

• 无向图 $G$ 是非平凡的欧拉图当且仅当 $G$ 是连通的且是若干个边不重的圈的并。