排队论模型

1. 简介

我们使用六个符号表示排队模型,在符号之间用斜线隔开,记为 X/Y/Z/A/B/C 。第一个符号 X 表示顾客到达流或顾客到达间隔时间的分布;第二个符号 Y 表示服务时间的分布;第三个符号 Z 表示服务台数目;第四个符号 A 是系统容量限制;第五个符号 B 是顾客源数目;第六个符号 C 表示的是服务规则,例如先到先服务 FCFS, 后到先服务 LCFS 等。

2. Little(利特尔)公式

在排队论模型中,可以通过平均队长 LsL_s ,平均排队长 LqL_q,平均等待时间 WqW_q,平均逗留时间 WsW_s 这些基本数量指标判断系统运行的优劣。

2.1 定义

Little (利特尔)法则可用于一个稳定的、非占先式的系统中。其定义为:

  • 在一个稳定的系统(LL)中,长时间观测到的平均顾客人数等于长时间观测到的有效抵达率(λ\lambda)乘以顾客在这个系统中平均的等待时间(WW);用一个代数式表示为:

L=λW\begin{array}{c} L = \lambda W \end{array}

λ\lambda 表示单位时间内顾客到达的平均数,μ\mu 表示单位时间内接受完服务离开的平均顾客数,可以得到相邻两顾客到达的平均时间 1/λ1 / \lambda,每个顾客的平均服务时间 1/μ1 / \mu, 根据 Little 法则,我们可以得到以下 Little 公式:

Ls=λWsLq=λWqWs=Wq+1μLs=Lq+λμ\begin{array}{c} L_s = \lambda W_s \\ L_q = \lambda W_q \\ W_s = W_q + \frac{1}{\mu} \\ L_s = L_q + \frac{\lambda}{\mu} \end{array}


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