1. 简介

均值不等式（inequality of arithmetic and geometric means，简称 AM-GM 不等式）是数学中常用的基本不等式之一。

2. 表述

2.1 算术均值

对于 $n$ 个实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n \in \mathbb{R}$，它们的算术均值定义为

$$\begin{array}{lll} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \end{array}$$

2.2 几何均值

对于 $n$ 个非负的实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n \geq 0$，它们的几何均值定义为

$$\begin{array}{lll} \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \end{array}$$

2.3 均值不等式

对于 $n$ 个非负的实数 $x_1,x_2,\cdots,x_n \geq 0$，有以下均值不等式成立：

$$\begin{array}{lll} \frac{x_1 + x_2 + \cdots + x_n}{n} \geq \sqrt[n]{x_1 x_2 \cdots x_n} \end{array}$$

其中等号成立当且仅当 $x_1 = x_2 = \cdots = x_n$。

证明
由琴生不等式可知，对于一个凹函数，其满足凸组合的函数值大于等于函数值的凸组合。由于对数函数是一个凹函数，故有

$$\begin{array}{lll} \ln(\frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n}) & \geq & \sum_{i=1}^n \frac{1}{n} \ln{x_i} \\ & = & \ln (\prod_{i=1}^n x_i^{\frac{1}{n}}) \end{array}$$

对上式两边同时取指数，则有

$$\begin{array}{lll} \frac{\sum_{i=1}^n x_i}{n} & \geq & \sqrt[n]{\prod_{i=1}^n x_i} \end{array}$$

Q.E.D.

附录

参考资料：

• Inequality of arithmetic and geometric means