幂矩阵和初等矩阵函数

1. 幂等矩阵

1.1 定义

若矩阵 An×n\boldsymbol{A}_{n \times n} 满足:

A2=AA=A{\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{AA} = \boldsymbol{A} \end{array}}

则称矩阵 A\boldsymbol{A}幂等矩阵

1.2 性质

  • 函数 f(sI+tA)=(IA)f(s)+Af(s+t) f(s\boldsymbol{I} + t\boldsymbol{A}) = (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A})f(s) + \boldsymbol{A}f(s + t)

猜想

此处以及后面的函数 f()f(\cdot) 应该是需要具备一定条件的,我猜可能是需要是要求 f()f(\cdot) 能够进行泰勒展开。但我没有找到相关参考文献,有知道的朋友希望能告知一下~

2. 对合矩阵(幂单矩阵)

2.1 定义

若矩阵 An×n\boldsymbol{A}_{n \times n} 满足:

A2=AA=I{\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{A} \boldsymbol{A} = \boldsymbol{I} \end{array}}

则称矩阵 A\boldsymbol{A}对合矩阵幂单矩阵

2.2 性质

  • 函数 f(sI+tA)=12[(I+A)f(s+t)+(IA)f(st)] f(s\boldsymbol{I} + t\boldsymbol{A}) = \frac{1}{2} [(\boldsymbol{I} + \boldsymbol{A}) f(s + t) + (\boldsymbol{I} - \boldsymbol{A})f(s - t)]

3. 幂零矩阵

3.1 定义

若矩阵 An×n\boldsymbol{A}_{n \times n} 满足:

A2=AA=0{\begin{array}{c} \boldsymbol{A}^2 = \boldsymbol{AA} = \boldsymbol{0} \end{array}}

则称矩阵 A\boldsymbol{A}幂零矩阵

3.2 性质

  • 函数 f(sI+tA)=If(s)+tAf(s) f(s\boldsymbol{I} + t\boldsymbol{A}) = \boldsymbol{I} f(s) + t \boldsymbol{A} f^{'}(s)

4. 初等矩阵函数

4.1 三角函数

  • sin(A)=n=0(1)nA2n+1(2n+1)!=A13!A3+15!A5 \sin(\boldsymbol{A}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n \boldsymbol{A}^{2n+1}}{(2n+1)!} = \boldsymbol{A} - \frac{1}{3!}\boldsymbol{A}^3 + \frac{1}{5!}\boldsymbol{A}^5 - \cdots

  • cos(A)=n=0(1)nA2n(2n)!=I12!A2+14!A4 \cos(\boldsymbol{A}) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n\boldsymbol{A}^{2n}}{(2n)!} = \boldsymbol{I} - \frac{1}{2!}\boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{4!}\boldsymbol{A}^4 - \cdots

4.2 指数函数和对数函数

  • eA=n=01n!An=I+A+12!A2+13!A3+ e^\boldsymbol{A} = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{1}{n!} \boldsymbol{A}^n = \boldsymbol{I} + \boldsymbol{A} + \frac{1}{2!} \boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{3!}\boldsymbol{A}^3 + \cdots

  • ln(I+A)=n=1(1)n1nAn=A12A2+13A3 \ln(\boldsymbol{I}+\boldsymbol{A}) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^{n-1}}{n} \boldsymbol{A}^n = \boldsymbol{A} - \frac{1}{2} \boldsymbol{A}^2 + \frac{1}{3} \boldsymbol{A}^3 - \cdots


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