Toeplitz矩阵和循环矩阵

1. Toeplitz矩阵

1.1 定义

Toeplitz（特普利茨）矩阵又称为常对角矩阵，该矩阵每条左上至右下的对角线均为常数。Toeplitz矩阵 AA 为满足以下条件的矩阵：

Aij=Ai+1,j+1\begin{array}{c} A_{ij} = A_{i+1,j+1} \end{array}

其一般形式为：

A=[a0a−1⋯a−(n−1)a1a0⋯a−(n−2)⋮⋮⋱⋮an−1an−2⋯a0]\begin{array}{c} A = \left[ \begin{matrix} a_0 & a_{-1} & \cdots & a_{-(n-1)} \\ a_{1} & a_0 & \cdots & a_{-(n-2)} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n-1} & a_{n-2} & \cdots & a_0 \end{matrix} \right] \end{array}

2. 循环矩阵

2.1 定义

  • 循环矩阵是一种特殊的Toeplitz矩阵，其列向量/行向量的每个元素都是前一个列向量/行向量个元素循环右移一个位置的结果。循环矩阵 CC 的一般形式为：

C=[c0cn−1⋯c1c1c0⋯c2⋮⋮⋱⋮cn−1cn−2⋯c0]\begin{array}{c} C = \left[ \begin{matrix} c_0 & c_{n-1} & \cdots & c_{1} \\ c_{1} & c_0 & \cdots & c_{2} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ c_{n-1} & c_{n-2} & \cdots & c_0 \end{matrix} \right] \end{array}

  • 若循环矩阵 CC 还满足：

cn−i=ci,  0<i<n\begin{array}{c} c_{n-i} = c_i , \ \ 0 \lt i \lt n \end{array}

则矩阵 CC 称为对称循环矩阵。

2.2 性质

  • 若 A,BA,B 为两个循环矩阵，则 A+B,ABA+B,AB 都是循环矩阵，且

AB=BA\begin{array}{c} AB = BA \end{array}

证明：AB=BAAB = BA

  1. 定义向量 v\boldsymbol{v} 的反转向量为 v~\tilde{\boldsymbol{v}}，其元素序列为原向量 v\boldsymbol{v} 的反转。

  则易知以下式子成立：

(v1,v2)=(v2~,v1~)\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}_1, \boldsymbol{v}_2) = (\tilde{\boldsymbol{v}_2}, \tilde{\boldsymbol{v}_1}) \end{array}

  即两个向量的内积等于它们反转向量的内积。

  1. 定义向量 v\boldsymbol{v} 的循环右移 ii 个位置（ii 为负数则表示循环左移 −i-i 个位置）的向量为 v→i\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}，易知 v→i\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}} 的反转向量

v~→i=v→−i\begin{array}{c} \tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}} = \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}} \end{array}

  1. 易知对于任意整数 cc，均有以下等式成立：

(v1→i,v2→j)=(v1→i+c,v2→j+c)\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i+c}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j+c}{\rightarrow}}_2) \end{array}

  1. 要证明原命题，易知只需证明：

(v1→i,v2→j)=(v2→i,v1→j)\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1) \end{array}

由以上性质可知：

(v1→i,v2→j)=(v~2→j,v~1→i)=(v2→−j,v1→−i)=(v2→−j+i+j,v1→−i+i+j)=(v2→i,v1→j)\begin{array}{c} (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2) = (\tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{j}{\rightarrow}}_2, \tilde{\boldsymbol{v}}^{\overset{i}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{-j}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{-i}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{-j+i+j}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{-i+i+j}{\rightarrow}}_1) = (\boldsymbol{v}^{\overset{i}{\rightarrow}}_2, \boldsymbol{v}^{\overset{j}{\rightarrow}}_1) \end{array}

  • 循环矩阵的特征向量矩阵是同样维数的离散傅立叶变换矩阵。

3. 分块Toeplitz/循环矩阵

3.1 定义

对于分块矩阵

A=[A11A12⋯A1NA21A22⋯A2N⋮⋮⋱⋮AM1AM2⋯AMN]\begin{array}{c} A = \left[ \begin{matrix} A_{11} & A_{12} & \cdots & A_{1N} \\ A_{21} & A_{22} & \cdots & A_{2N} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ A_{M1} & A_{M2} & \cdots & A_{MN} \end{matrix} \right] \end{array}

其中 AijA_{ij} 为子矩阵。如果矩阵 AA 相对于子矩阵元素 AijA_{ij} 构成Toeplitz/循环矩阵，则称矩阵 AA 为分块Toeplitz/循环矩阵。

4. 双重分块 Toeplitz/循环矩阵

对于分块Toeplitz/循环矩阵 AA，如果其子矩阵 AijA_{ij} 也是Toeplitz/循环矩阵，则称矩阵 AA 为双重分块Toeplitz/循环矩阵。