MoorePenrose伪逆

1. 简介

Moore-Penrose 伪逆常用于求解或简化非一致线性方程组的最小范数最小二乘解。其在实数域和复数域上都是唯一的,并且可以通过奇异值分解求得。

2. 定义

矩阵 AA 的伪逆定义为

A+=limα0(ATA+αI)1AT\begin{array}{c} A^+ = \lim_{\alpha \rightarrow 0}(A^T A + \alpha I)^{-1} A^T \end{array}

实际计算往往使用以下公式

A+=VD+UT\begin{array}{c} A^+ = V D^+ U^T \end{array}

其中,矩阵 UUDDVV 分别是矩阵 AA 奇异值分解后得到的矩阵。

【注】对角矩阵 DD 的伪逆 D+D+ 是其非零元素取倒数之后转置得到的。

3. 性质

  • 当矩阵 AA 的列数多于行数时,x=A+y x = A^+ y 是方程所有可行解中欧几里得范数 x2|x|_2 最小的。

  • 当矩阵 AA 的行数多于列数时,x=A+y x = A^+ y 是使得 AxAxyy 的欧几里得距离 Axy2|Ax - y|_2 最小的解。


本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-SA 4.0 协议 ,转载请注明出处!