正负定矩阵

1. 正定矩阵

1.1 定义

  • 在实数域下,一个 n×nn \times n 的实对称矩阵 MM 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 zz 都有 zTMz>0z^T M z \gt 0

  • 在复数域下,一个 n×nn \times n 的埃尔米特矩阵 MM 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 zz 都有 zMz>0z^* M z \gt 0

1.2 性质

对于 n×nn \times n 的埃尔米特矩阵 MM,下列性质与「MM 正定矩阵」等价:

  • 矩阵 MM 的所有特征值 λi\lambda_i 都是正的。由于 MM 必然与一个实对角 DD 相似,即 M=P1DP M = P^{-1}DP ,则 MM 是正定矩阵当且仅当 DD 的对角线上的元素都是正的。

  • MM 的所有顺序主子式都是正的。

2. 半正定矩阵

  • 在实数域下,一个 n×nn \times n 的实对称矩阵 MM 是正定的,当且仅当对于所有的非零实系数向量 zz 都有 zTMz0z^T M z \geq 0

  • 在复数域下,一个 n×nn \times n 的埃尔米特矩阵 MM 是正定的当且仅当对于每个非零的复向量 zz 都有 zMz0z^* M z \geq 0

1.2 性质

对于 n×nn \times n 的埃尔米特矩阵 MM,下列性质与「MM 正定矩阵」等价:

  • 矩阵 MM 的所有特征值 λi\lambda_i 都是非负的。由于 MM 必然与一个实对角 DD 相似,即 M=P1DP M = P^{-1}DP ,则 MM 是正定矩阵当且仅当 DD 的对角线上的元素都是非负的。

  • MM 的所有顺序主子式都是非负的。

【注】负定矩阵和半负定矩阵的定义和性质类似正定矩阵和半正定矩阵。


本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-SA 4.0 协议 ,转载请注明出处!