柯西主值积分

1. 简介

柯西主值积分是以特殊方式定义的反常积分，其值又称为柯西主值。

2. 定义

2.1 第一类反常积分（无穷积分）

  • 设函数 f(x)f(x) 在 (−∞,+∞)(-\infty,+\infty) 上连续且可积，则定义第一类反常积分：

∫−∞+∞f(x)dx=lim⁡u→−∞∫ucf(x)dx+lim⁡v→+∞∫cvf(x)dx\begin{array}{c} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{u \rightarrow -\infty} \int_u^c f(x)dx + \lim_{v \rightarrow +\infty} \int_c^v f(x) dx \end{array}

其中，cc 是区间上任意一点。

上式右边式子中两个极限皆收敛，则左式的反常积分才收敛；上式右边式子任意其一发散，则左式的反常积分发散。

  • 定义第一类反常积分的柯西主值：

PV∫−∞+∞f(x)dx=lim⁡R→+∞∫−RRf(x)dx\begin{array}{c} \mathrm{PV} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{-R}^R f(x) dx \end{array}

【注】由定义易知，若无穷积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等；若无穷积分的柯西主值收敛，该积分未必收敛。举例如下：

PV∫−∞+∞xdx=lim⁡R→+∞∫−RRxdx=0\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^{+\infty} x dx = \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{-R}^R x dx = 0 \end{array}

但实际上该积分并不收敛。

2.2 第二类反常积分（瑕积分）

  • 设函数 f(x)f(x) 在 (a,b)(a,b) 上连续可积，但在点 aa 及 bb 不连续，则定义第二类反常积分：

∫abf(x)dx=lim⁡u→a+∫ucf(x)dx+lim⁡v→b−∫cvf(x)dx\begin{array}{c} \int_a^b f(x) dx = \lim_{u \rightarrow a+} \int_u^c f(x) dx + \lim_{v \rightarrow b^-} \int_c^v f(x) dx \end{array}

其中，cc 是区间上任意一点。

  • 设函数 f(x)f(x) 在 [a,c)[a,c) 和 (c,b](c,b] 上连续且可积，但在点 cc 不连续，则定义第二类反常积分：

∫abg(x)dx=lim⁡u→c−∫aug(x)dx+lim⁡v→c+∫vbg(x)dx\begin{array}{c} \int_a^b g(x) dx = \lim_{u \rightarrow c^-} \int_a^u g(x) dx + \lim_{v \rightarrow c+} \int_v^b g(x) dx \end{array}

类似的，对于第二类反常积分，只有右式两个极限皆收敛，左式的反常积分才定义为收敛；若右式其一发散，则左式的反常积分发散。

  • 对于以上两种情况下的第二类反常积分，分别定义第二类反常积分的柯西主值：

PV∫abf(x)dx=lim⁡ε→0+∫a+εb−εf(x)dxPV∫abg(x)dx=lim⁡ε→0+(∫ac−εg(x)dx+∫c+εbg(x)dx)\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) dx \\ \mathrm{PV}\int_a^b g(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \Big(\int_a^{c-\varepsilon} g(x) dx + \int_{c+\varepsilon}^b g(x) dx \Big) \end{array}

【注】由定义易知，若瑕积分收敛，则其柯西主值收敛，且二者相等；若瑕积分的柯西主值收敛，则该积分未必收敛。

2.3 混合反常积分

  • 设函数 f(x)f(x) 在 (−∞,c)(-\infty,c) 及 (c,+∞)(c,+\infty) 上连续且可积，但在点 cc 不连续，则定义其反常积分的柯西主值：

PV∫−∞+∞f(x)dx=lim⁡ε→0+(∫c−1εc−εf(x)dx+∫c+εc+1εf(x)dx)\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \Big( \int_{c-{1 \over \varepsilon}}^{c-\varepsilon} f(x)dx + \int_{c+\varepsilon}^{c+{1 \over \varepsilon}}f(x) dx \Big) \end{array}