柯西主值积分

1. 简介

柯西主值积分是以特殊方式定义的反常积分,其值又称为柯西主值。

2. 定义

2.1 第一类反常积分(无穷积分)

  • 设函数 f(x)f(x)(,+)(-\infty,+\infty) 上连续且可积,则定义第一类反常积分

+f(x)dx=limuucf(x)dx+limv+cvf(x)dx{\begin{array}{c} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{u \rightarrow -\infty} \int_u^c f(x)dx + \lim_{v \rightarrow +\infty} \int_c^v f(x) dx \end{array}}

其中,cc 是区间上任意一点。

上式右边式子中两个极限皆收敛,则左式的反常积分才收敛;上式右边式子任意其一发散,则左式的反常积分发散。

  • 定义第一类反常积分的柯西主值:

PV+f(x)dx=limR+RRf(x)dx{\begin{array}{c} \mathrm{PV} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x)dx = \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{-R}^R f(x) dx \end{array}}

【注】由定义易知,若无穷积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等;若无穷积分的柯西主值收敛,该积分未必收敛。举例如下:

PV+xdx=limR+RRxdx=0{\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^{+\infty} x dx = \lim_{R \rightarrow +\infty} \int_{-R}^R x dx = 0 \end{array}}

但实际上该积分并不收敛。

2.2 第二类反常积分(瑕积分)

  • 设函数 f(x)f(x)(a,b)(a,b) 上连续可积,但在点 aabb 不连续,则定义第二类反常积分

abf(x)dx=limua+ucf(x)dx+limvbcvf(x)dx{\begin{array}{c} \int_a^b f(x) dx = \lim_{u \rightarrow a+} \int_u^c f(x) dx + \lim_{v \rightarrow b^-} \int_c^v f(x) dx \end{array}}

其中,cc 是区间上任意一点。

  • 设函数 f(x)f(x)[a,c)[a,c)(c,b](c,b] 上连续且可积,但在点 cc 不连续,则定义第二类反常积分

abg(x)dx=limucaug(x)dx+limvc+vbg(x)dx{\begin{array}{c} \int_a^b g(x) dx = \lim_{u \rightarrow c^-} \int_a^u g(x) dx + \lim_{v \rightarrow c+} \int_v^b g(x) dx \end{array}}

类似的,对于第二类反常积分,只有右式两个极限皆收敛,左式的反常积分才定义为收敛;若右式其一发散,则左式的反常积分发散。

  • 对于以上两种情况下的第二类反常积分,分别定义第二类反常积分的柯西主值:

PVabf(x)dx=limε0+a+εbεf(x)dxPVabg(x)dx=limε0+(acεg(x)dx+c+εbg(x)dx){\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_a^b f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \int_{a+\varepsilon}^{b-\varepsilon} f(x) dx \\ \mathrm{PV}\int_a^b g(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \Big(\int_a^{c-\varepsilon} g(x) dx + \int_{c+\varepsilon}^b g(x) dx \Big) \end{array}}

【注】由定义易知,若瑕积分收敛,则其柯西主值收敛,且二者相等;若瑕积分的柯西主值收敛,则该积分未必收敛。

2.3 混合反常积分

  • 设函数 f(x)f(x)(,c)(-\infty,c)(c,+)(c,+\infty) 上连续且可积,但在点 cc 不连续,则定义其反常积分的柯西主值:

PV+f(x)dx=limε0+(c1εcεf(x)dx+c+εc+1εf(x)dx){\begin{array}{c} \mathrm{PV}\int_{-\infty}^{+\infty} f(x) dx = \lim_{\varepsilon \rightarrow 0^+} \Big( \int_{c-{1 \over \varepsilon}}^{c-\varepsilon} f(x)dx + \int_{c+\varepsilon}^{c+{1 \over \varepsilon}}f(x) dx \Big) \end{array}}


本博客所有文章除特别声明外,均采用 CC BY-SA 4.0 协议 ,转载请注明出处!