BSGS算法

1. 简介

BSGS 算法也称为大小步算法,主要用来解决

AxBmodp\begin{array}{c} A^x \equiv B \mod{p} \end{array}

的问题,其中 pp 为质数。

2. 算法

x=imjx = i \cdot m -j,其中 m=pm = \lceil \sqrt{p} \,\rceil。此时原式等价于

AimjBmodpAimAjBmodp\begin{array}{c} A^{i \cdot m - j} \equiv B \mod{p} \\ \Rightarrow A^{i \cdot m} \equiv A^{j} \cdot B \mod{p} \end{array}

然后枚举 j[0,m]j \in [0,m],将 AjBA^{j} \cdot B 存入哈希表;再枚举 i[1,m]i \in [1,m],从哈希表中寻找第一个满足 AimAjBmodpA^{i \cdot m} \equiv A^{j} \cdot B \mod{p}ii,则此时

x=imj\begin{array}{c} x = i \cdot m -j \end{array}

即为所求解。该算法复杂度为 O(p)O(\sqrt{p} \,)


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