矩阵树定理

1. 思想

矩阵树定理:对于一个无向图 GG,它的生成树个数等于其基尔霍夫矩阵任何一个 N1N - 1 阶主子式的行列式的绝对值。

  • 度数矩阵 DD:是一个 N×NN \times N 的矩阵,其中 D[i][j]=0(ij)D[i][j]=0 (i \neq j)D[i][i]=iD[i][i]=i 号点的度数。
  • 邻接矩阵 AA:是一个 N×NN \times N 的矩阵,其中 A[i][i]=0A[i][i]=0A[i][j]=A[j][i]=i,jA[i][j]=A[j][i]=i,j 之间的边数。

然后 Kirchhoff(基尔霍夫)矩阵 K=DAK = D-A

【注】行列式计算方法:将矩阵转为三角矩阵进行行列式计算。

2. 代码

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/*************************************************************
矩阵树算法
时间复杂度:O(n^3)。
*************************************************************/

//浮点数运算版本(需高精度long double)
#include <bits/stdc++.h>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define re register
#define il inline
#define ll int
#define ld long double

const ld eps = 1e-10;
const ll MAXN = 100;

ll A[MAXN][MAXN]; //邻接矩阵
ll K[MAXN][MAXN]; //基尔霍夫矩阵

//快读
il ll read()
{
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')
f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}

//计算矩阵行列式
il ld det(ll n)
{
ld D[MAXN][MAXN];
for(re ll i = 1; i <= n; ++i)
{
for(re ll j = 1; j <= n; ++j)
{
D[i][j] = K[i][j];
}
}
//s计算交换行列次数,ans计算结果
ll s = 0;
ld ans = 1;
for(re ll i = 1; i <= n; ++i)
{
//确保当前行首元素非零
if(fabs(D[i][i]) < eps)
{
for(re ll j = i+1; j <= n; ++j)
{
if(fabs(D[j][i]) > eps)
{
//利用库函数之间交换地址
std::swap(D[i],D[j]);
++s;
break;
}
if(j == n)
{
return 0;
}
}
}
//进行高斯消元
for(re ll j = i+1; j <= n; ++j)
{
if(fabs(D[j][i]) > eps) //行首元素非零
{
ld t = D[j][i]/D[i][i];
for(re ll k = i; k <= n; ++k)
{
D[j][k] -= D[i][k]*t;
}
}

}
ans *= D[i][i];
}
if(s & 1) ans = -ans;
return ans;
}


int main()
{
ll n, m, k;
while(scanf("%d%d%d", &n, &m, &k) == 3)
{
memset(K,0,sizeof(K));
memset(A,0,sizeof(A));
for(re ll j = 1; j <= m; ++j)
{
ll u,v;
u = read();
v = read();
A[u][v] = A[v][u] = 1;
}
for(re ll j = 1; j <= n; ++j)
{
for(re ll d = 1; d <= n; ++d)
{
//构造基尔霍夫矩阵
if(j != d && !A[j][d])
{
++K[j][j];
--K[j][d];
}
}
}
//【注意】long double型数据输出格式为%Lf
printf("%.0Lf\n", det(n-1));
}
return 0;
}


/*
//整数运算版本
#include <bits/stdc++.h>
#include <algorithm>
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <queue>
#define re register
#define il inline
#define ll long long

//在快读基础上加上这两行
const ll MAXN = 1000;

ll A[MAXN][MAXN]; //邻接矩阵
ll K[MAXN][MAXN]; //基尔霍夫矩阵

//快读
il ll read()
{
ll x=0,f=1;
char ch=getchar();
while(ch<'0'||ch>'9')
{
if(ch=='-')
f=-1;
ch=getchar();
}
while(ch>='0'&&ch<='9')
{
x=(x<<1)+(x<<3)+(ch^48);
ch=getchar();
}
return x*f;
}

//计算矩阵行列式
il ll det(ll n)
{
//s计算交换行列次数,ans计算结果
ll ans = 1;
for(re ll i = 1; i <= n; ++i)
{
//确保当前行首元素非零
if(!K[i][i])
{
for(re ll j = i+1; j <= n; ++j)
{
if(K[j][i])
{
std::swap(K[i],K[j]);
ans = -ans;
break;
}
if(j == n)
{
return 0;
}
}
}
//高斯消元
for(re ll j = i+1; j <= n; ++j)
{
//避免了浮点运算
while(K[j][i])
{
ll t = K[i][i]/K[j][i];
for(re ll k = i; k <= n; ++k)
{
K[i][k] -= t*K[j][k];
}
std::swap(K[i],K[j]);
ans = -ans;
}
}
ans *= K[i][i];
}
return ans;
}


int main()
{
ll n, m, k;
while(scanf("%lld%lld%lld", &n, &m, &k) == 3)
{
memset(K,0,sizeof(K));
memset(A,0,sizeof(A));
for(re ll j = 1; j <= m; ++j)
{
ll u,v;
u = read();
v = read();
A[u][v] = A[v][u] = 1;
}
for(re ll j = 1; j <= n; ++j)
{
for(re ll d = 1; d <= n; ++d)
{
if(j != d && !A[j][d])
{
++K[j][j];
--K[j][d];
}
}
}
printf("%lld\n", det(n-1));
}
return 0;
}
*/

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