费马小定理
1. 定义
假如 是一个整数,是一个质数,那么 是 的倍数,可以表示为
如果 不是 的倍数,这个定理也可以写成
2. 证明
- 对于 的情况,定义中的第一个等式显然成立。
- 对于 的情况,则 。此时模 的所有非零的余数,在同于意义下对乘法构成一个群,此群的阶是 。根据群论中的拉格朗日定理,对于该群中的 ,都有 的阶必整除群的阶,故命题得证。
3. 推广
- 费马小定理是欧拉定理的一个特殊情况。
- 卡迈克尔函数比欧拉函数更小,费马小定理也是它的特殊情况。它的特殊情况。
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